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怎么证明100/10000<101/10001?

糖水不等式,往9900克水中加入100克糖,糖的浓度是100/10000,再往里面加入1克糖,糖水变甜了,浓度提高了,是101/10001

很认可题主对于数学的兴趣和热情,非常好的一个问题,今天尝试用小学奥数比较分数大小知识点来证明下,我是一枚小学奥数讲师,欢迎大家关注我的头条号,一起学习更多小学奥数知识。

一般分数比较大小有通分法,交叉相乘法,基准数法等,因为数比较大,前两种方法比较麻烦,建议使用基准数法。

解题思路

① 我们把基准数定为1,将两个分数分别和和基准数做差。

100/10000=1-9900/10000;101/10001=1-9900/10001

因为9900/10000>9900/10001(分子相同,分母小者大)

所以(1-9900/10000)<(1-9900/10001 ) → 100/10000<101/10001,被减数相同,减数越大,差越小。下图看得清晰些:

② 再比如题主举得另外例子,435/536854和436/536855。同理一样可用此法证明

分数还是用图片表示吧,如图所示:

有更好的方法,欢迎一起探讨!

看了前几个的回答真的觉得可笑,函数都出来了,这种水平去参加现在的小学数学考试真的及不了格,几位就不要出来秀智商了,这么简单的题搞那么复杂,建议你们多看看小学数学书,不要误人子弟

100/10000=101/10100<101/10001

补充答案,我昨天发布了答案, 结果好几个人喷我的方法是简单但不通用,没有他们的方法虽然复杂但可以解决这一类的所有问题,但是想用一个方法解决所有的数学问题可以说是最愚蠢的笑话,那我就一起回答一下那几位喷子的疑问,我再说一遍,这是小学题,要用小学的方法解,你要是用函数解题,那小学生会像看弱智一样看着你,然后告诉你没学过的不准用,我之所以发表评论是担心有几个自称老师的把真正的小学生或学生家长带到沟里了,所以才说不要误人子弟,其实有更简便的方法,当分子分母同时加上一个相同的数,这个分数会变大,我之所以举我开始的方法,那是因为最容易懂,既然有些人那么犟,那我就证明一下这个最简单的方法,一个分数分母增加1,那分子增加的数为这个分数时分数值不变,比如

a/b=a a/b /b 1<a 1/b 1,

喷子们还嫌不通用,还有更通用的

a/b=a ca/b /b c<a c/b c

那么请问那倔强的老师,我这个方法是不是即通用又比你的方法简单?再说一遍,开始的方法是为了帮助小学生的,那些明显是初中学历的不要喷了,初中生不考这个

最后说一点,最简单的方法其实是最难的,最复杂的方法反映的不是学识,而是愚蠢

可以用分数对角相乘的办法比较大小,比如分数a/b与c/d怎么比较大小,除了通分外还可以直接让ad跟bc比较,如下图,因为3和7相乘,5和5相乘,把结果写在两个分数上面,顺序不要弄错,哪个结果大,哪边分数就大。


那我们用来解决问题者的问题,用我刚才的方法,可以把结果写在上面,把分数问题转化为整数问题

所以其实就是比较100×10001跟101×10000的大小,这个我们不用算,因为还有一个知识点要讲,我们发现其实100 10001=101 10000,我们知道和相同的,两数相差小的反而大,例如4 6=3 7,和相同,但是4和6相差2,而3和7相差4,所以是4×6比较大,因此,这道题应该是101和10000相差比较小,因此乘积比较大,所以100×10001<101×10000,所以右边分数比较大。

这个证明容易,首先需要知道不等式两边同时乘以或者除以某一个正数,不等式方向不变。那么题目中的不等式左右两边同时乘以10001再同时除以100,即可得到10001/10000和101/100,两边同时减去1,得到1/10000和1/100,得证。

分别求倒数:100/10000的倒数是100;101/10001的倒数是10001/101=(10100-99)/101=100-99/101。因为100>100-99/101,所以100/10000<101/10001。另外,比较两个量的大小,还有两种很常用的方法:求差法(先求两个量的差,然后再比较)和求商法(先求两个量的商,然后在比较)。这两种方法对此问题也很有效,大家不妨一试。


就这么简单,啰里八嗦的干啥呢

100/10000<101/10001,用计算器算了一下,首先这个不等式是正确的。然后我们怎么证明呢?想到的第一个办法,也是最简单的办法大概就是通分吧。

不等式左边100/10000分式上下同乘以10001,得到(100*10001)/(10000*10001)=1000100/(10000*10001)

不等式右边101/10001分式上下同乘以10000,得到(101*10000)/(10001*10000)=1010000/(10000*10001)。

两边的分母相同,都是10000*10001,分子:左边=1000100<1010000=右边,所以100/10000<101/10001。

另外,想到的第二种方法,记不得叫什么学名了,直接说内容。

要比较100/10000和101/10001的大小,100/10000其实我们很好计算,约分后为1/100=0.01,只要是没有计算器,101/10001的大小不好算(实际上用除法直接除一下也能算出来),所以我们要找一个跟这两个数字都相关的中间数作为桥梁,来比较两者的大小。

比如:我们可以把100/10000=1/100=0.01变成与101/10100分母相同或者分子相同的分数,例如1/100=101/10100,那这时,其实100/10000和101/10001的大小比较就变成了101/10100和101/10001的大小比较了,而分子相同时,分母较大的那个分数反而更小,也就是说100/10000=101/10100<101/10001。

毕业时间久了,那些多种多样的解题方法也都忘记的差不多了【捂脸】,碰到这种题目,第一反应反而是直接用计算器或者是笔算一下,计算出两边的大小直接比较,不过似乎中学某个阶段会有好多这样的题目,直接计算只能碰一个答案,还是跟着老师多学点相关的解题方法比较靠谱。比较大小好像两者直接相减,转而判断两者之差正负的方法用的比较多?

1-100/10000=9900/10000。

1-101/10001=9900/10001。

9900/10000和 9900/10001容易比较。

大概小学4年级的题,对正数p,q,n,(p>q),q/p和(q n)/(p n)的大小比较都适用这个方法。1-q/p=(p-q)/p,1-(q n)/(p n)=(p-q)/(p n),(p-q)/p和(p-q)/(p n)分子相同比分母,分母小的分数大,(p-q)/p>(p-q)/(p n),即1-q/p>1-(q n)/(p n),q/p<(q n)/(p n)。这个方法的好处是,适合小学生,没有代数精神,数学停留在算术层面,习惯看到静止的数字、计算,因为这样处理后计算量不大。

高中了,条条大道通罗马,其实初中就够了,要用初等代数,随便怎么做,最普遍的作差法:(q n)/(p n)-q/p=[p(q n)-q(p n)]/p(p n)=n(p-q)/p(p n)>0,也就是(q n)/(p n)>q/p。

等比定理也简单,q/p=

[n(q/p)]/n=[q n(q/p)]/(p n)<(q n)/(p n)。最后一步变换,因为q/p<0。

数字稍微变下,可以有无数个数,小学只盯这数还行,初一开始初等代数,就需要归纳,得到普遍的东西,高中这点更是不够了,高中数学的一项很重要的任务是进入变量数学(函数)。

我用图片来回答,既然是证明题,那么还是证明通用的知识。


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